변수가 여러개인 유한개의 방정식의 공통근이 어떻게 생겼는지를 이해하는 것이 대수기하학의목표입니다. 그런 공통근을 대수다양체라고 부르는데 쌍유리 대수기하학(Birational Algebraic Geometry)에서는 대수다양체를 조금 더 체계적으로 이해하기 위해서 대수다양체들을 쌍유리적으로 동치인 것들끼리 묶어서 연구를 합니다. 많은 기하학적인 정보들을 공유하고 있는 쌍유리적으로 동치인 대수다양체들 중에서 가장 다루기 쉬운 소위 극소모델이라 불리는 다양체를 찾고 그것의 기하학을 연구하는 것이 효과적일 것입니다. 이러한 방법론을 실현하기 위해서 생겨난 것이 극소모델프로그램(minimal model program)입니다. 1900년대 초에 이미 이탈리아 대수기하학자들에 의해서 2차원 대수다양체인 곡면의 경우에는 극소모델의 존재성이 확인되었고 3차원의 극소모델을 찾기까지는 7,80년이란 세월이 필요했습니다. 2010년에 비로소 모든 차원에서 일반적인 다양체(즉, 코다이라 차원이 다양체의 차원과 일치하는 경우)에 대한 극소모델이 존재한다는 사실이 밝혀졌습니다.

극소모델프로그램은 표준인자(canonical divisor)와 음으로 교차하는 곡선들을 점으로 사라지게함으로서 진행을 합니다. 모든 다양체는 극소모델프로그램을 거치면서 다양체의 표준인자가 정의하는 코다이라 차원(Kodaira dimension)에 따라 세가지로 분류가 됩니다. 극소모델프로그램에서와 같이 표준인자 대신에 반표준인자를 이용해서 프로그램을 돌리는 것을 반표준 극소모델프로그램이라고 부릅니다. 즉, 반표준인자와 음으로 교차하는 (다시말해, 표준인자와 양으로 교차하는) 곡선들을 점으로 사라지게 함으로서 다양체를 쌍유리적으로 변형시켜 나갑니다. 이러한 과정의 결과물로 얻어지는 것이 대수기하학에서 가장 많이 연구되어지고 있는 Fano 다양체라 할 수 있습니다. 하지만 이러한 반표준 극소모델프로그램을 돌리려고 하면 시작단계부터 삐걱거립니다. 극소모델프로그램을 위해서 증명된 대부분의 결과들이 반표준인자에 대해서는 성립하지 않기 때문입니다. 비록 반표준 극소모델프로그램을 돌리기 위한 결과를 증명하고 프로그램이 돌아가기 시작한다고 해도 특이점이 과도하게 악화되지 않도록 제어를 해줘야만 하는 많은 어려움이 있습니다.

본 연구에서는 반표준인자에 대한 극소모델 프로그램을 돌리기 위한 제반 이론을 확립하려고 합니다. 이 목표를 이루기 위해서는 대수기하학에서 가장 많이 연구되어지는 Fano 다양체보다 더 일반적인 다양체에 대한 깊은 이해가 필요합니다. 이 과제를 통해서 Fano 다양체에 대한 이론을 더 넓은 범주의 다양체에 대해서 확장함과 동시에 반표준인자 극소모델프로그램에 필요한 조건들을 규명해 나가려고 합니다. 더 나아가 Fano type 다양체를 특정짓는 가설들에 대해서도 해결책을 모색해보려고 합니다.