수학을 비롯한 과학, 공학 그리고 산업의 핵심 문제는 주어진 조건하에서 비용 혹은 에너지를 최대화 하거나 최소화하는 해를 구하는 최적화(optimization) 문제로 귀결됩니다. 수학에서는 미분방정식을 통해 최적해의 존재성과 성질을 규명하는 변분법(calculus of variation)이 핵심 방법론으로 일찍이 미적분학과 그 역사를 같이해 발전했습니다. 

변분법으로 기술한 최적 형태와 그러한 최적해로 수렴하는 시간에 대한 변화를 표현한 기울기 흐름(gradient flow)은 각각 타원형, 포물형 편미분방정식으로 나타납니다. 해당 방정식 이론은 수리물리, 수리모델링 그리고 본 연구의 주제인 기하 최적화에 해당하는 극소곡면과 아인슈타인 다양체론의 배경이 됩니다. 근래에는 해당 기하학 대상들에 대한 기울기 흐름인 평균곡률흐름과 리치(Ricci)흐름에 관한 특이점 및 수렴 이론의 급격한 발전을 통해 Poincare 추측과 일반화된 Smale 추측과 같은 기하, 위상수학의 난제를 해결할 수 있었습니다.

본 연구과제에서는 이 방향 연구의 난관으로 꼽히는 기울기 흐름의 점근행동(asymptotic behavior)에 관한 유일성 문제들을 규명해 고차원 곡률흐름의 특이점 형성에 관한 강직성(rigidity)이론을 규명하고자 합니다. 기울기 흐름은 현상을 기술하는 포텐셜 에너지 혹은 최적화 문제의 비용을 나타내는 범함수를 가장 빠르게 감소하는 방향으로 해를 변화시키게 됩니다. 이 기울기 흐름이 해를 최적화 문제의 수많은 임계점(critical point) 중 유일한 점으로 수렴하게 하는가에 관한 근간 문제는 Łojasiewicz이 도입한 대수기하학 방법론에 의해 해결됐으며 80년대 Simon은 이를 일반화해 방정식의 점근과 정칙성 이론에 기본 토대가 되었습니다.

현시점 연구의 난제는 수렴하는 극한의 유일성 다음 단계에 해당하는 수렴 방향과 속도의 규명에 있습니다. Thom과 Arnold의 추측으로 알려진 이 문제는 해석적 범함수의 기울기 흐름이 특이점으로 언제나 특정 방향을 따라서만 수렴할 수 있음을 말하는데 수렴 방향은 연구와 응용에 그 못지않게 중요한 수렴 속도 또한 결정하는 것으로 파악됩니다. 현재 해당 문제는 유한차원에서 Thom이 제안한 약한 형태의 추측만 해결되었는데 연구를 통해 Arnold의 강한 추측이 무한차원 문제를 포함한 일반화된 경우에 성립하는 것을 건설적인(constructive) 방법론을 고안해 규명하는 것을 목표로 합니다.

연구 과제의 두번째 목표는 이러한 추측의 규명에 기반해 평균곡률흐름과 리치흐름의 특이점모델 고대해(ancient solution) 분류, non-compact 특이점의 수렴 유일성, 원치 않는 특이점을 피해가는 포괄적(generic)해 이론과 같은 문제들에 그 적용 가능성을 탐구하는 것 입니다. 해당 이론들은 미해결로 남아 있는 매끄러운 다양체에 관한 Scheonflies 문제와 11/8 추측과 같은 4차원 기하, 위상 난제의 해결 가능성 또한 내포하고 있는 것으로 알려져 있어 그 중요성을 더하고 있습니다. 이렇게 연구를 통해 편미분방정식, 기울기 흐름 이론의 점근 행동에 대한 일반적 이론을 정립하는 한편 일반 이론의 중요한 문제들에 대한 구체적 활용을 동시에 모색하고자 합니다.