본 연구의 목적은 최근 들어 발전을 거듭하고 있는 대수기하학의 두 파생 분야인 유도 대수기하학(derived algebraic geometry)과 스펙트럼 대수기하학(spectral algebraic geometry) 사이의 상호작용을 구체적으로 들여다보는 것입니다. 일반적으로 대수기하학은 다항식들의 해집합을 연구하는 학문입니다. 현대적인 관점에서 이러한 연구는 국소적으로 보았을 때, 기하학에서 얻어지는 가환환(commutative rings)을 연구하는 것으로 생각할 수 있습니다. 유도 대수기하학/스펙트럼 대수기하학의 기본적인 연구 대상은 이러한 commutative rings의 위상학적인/호모토피 이론적인 일반화로 얻어지는 simplicial commutative rings/commutative ring spectra입니다. 이러한 물체들은 commutative rings을 정의하는 법칙들이 등호가 아니라 어떤 특정한 동치로 일반화되어 있는 것들이라고 생각할 수 있으며 이들은 호모토피 이론을 통하여 이해할 수 있습니다. 기존의 대수기하학이 대수적 위상수학의 방법론을 이용하여 많은 발전을 이루어 왔듯이 유도 대수기하학과 스펙트럼 대수기하학은 조금 더 일반적인 호모토피 이론을 통하여 발전을 이루어 가고 있습니다. 특히, 유도 대수기하학은 p-adic Hodge theory나 geometric Langlands program 등을 통하여 그 중요성을 더해가고 있습니다.

한편, 유도 대수기하학과 스펙트럼 대수기하학은 그 기본적인 연구 대상이 매우 유사하기 때문에 둘 사이에도 깊은 연관관계가 있습니다. 그렇지만 이런 유사성과 달리 차이점 또한 존재하는데 본 과제에서는 이러한 미묘한 차이점들을 연구함으로써 유도 대수기하학과 스펙트럼 대수기하학을 보다 긴밀하게 연결하여 두 분야에 대한 더욱 깊은 이해를 추구합니다.

본 연구에서는 유도 대수기하학과 스펙트럼 대수기하학의 상호작용을 연구함으로써 기존의 대수기하학에 대한 이해를 높일 뿐만 아니라 인접한 연구 분야에 관한 새로운 연구 방법과 결과들을 얻기를 기대합니다.