공간을 구별하는 것은 수학에서 가장 중요한 문제 가운데 하나입니다. 두 공간을 구별하기 위해 주로 호모토피 불변량(homotopy invariant)을 많이 사용하는데, 이것은 공간이 연속적으로 변하더라도 불변인 성질들을 의미합니다. 많은 경우에 호모토피 불변량은 매우 편리하고 강력하지만, 연속적인 변형에 대해서는 아무런 정보를 주지 않기 때문에 때때로 공간을 구별하는 데에 도움이 되지 못하기도 합니다.

주어진 공간에 대한 구성공간(configuration space)이란, 서로 구별할 수 없는 여러 개의 점들을 겹치지 않게 넣는 모든 방법을 모아 놓은 새로운 공간입니다. 넣으려고 하는 점의 개수가 많아질수록 구성공간은 본래의 공간에 비해 점점 커지게 됩니다. 이러한 구성공간에 대해 호모토피 불변량을 계산하면 원래 공간에서 얻을 수 있는 정보보다 더 많은 것을 얻기도 합니다. 예를 들어, 구성공간의 호모토피 불변량은 원래 공간의 차원을 알려주고, 모든 곡면들과 수형도(트리)를 분류하는 데에 사용될 수 있습니다. 하지만 어떠한 공간들은 구성공간의 호모토피 불변량만으로 완전히 분류될 수 없음이 알려져 있고, 따라서 다음과 같은 물음을 던질 수 있습니다.

“구성공간의 호모토피 불변량은 공간의 어떠한 기하적 성질과 연관되며, 공간을 얼마나 잘 분류하는가?”

본 연구에서는 이러한 물음에 답하기 위해 세 가지 연구주제를 제시하고 있습니다. 첫째, 주어진 공간에 들어있는 여러 점을 둘로 나누는 방법을 통해 구성공간의 코호몰로지 군에 새로운 곱셈 연산을 줄 수 있는데, 이러한 곱 연산이 공간의 성질을 어떻게 반영하고 있는지 살펴볼 것입니다. 둘째, 국소적으로는 모든 점이 같은 다양체와 달리 수형도와 같이 가지 친 공간에 대한 구성공간의 성질을 탐색합니다. 주로 다양체의 구성공간에서 알려진 결과들이 가지 친 공간의 구성공간에서도 성립하는가를 검증할 것입니다. 셋째, 1차원 네트워크와 같은 그래프의 구성공간에 대한 것으로 그래프 구성공간의 호모토피 불변량이 과연 그래프를 완전히 분류할 것인가에 대한 연구입니다.

본 연구를 통해 구성공간의 호모토피 불변량의 기하적, 위상적 의미를 밝히고, 특별히 그래프와 같은 비다양체에 대해 조합적 방법이 아닌 대수위상적 방법을 통한 새로운 불변량을 찾아낼 수 있을 것이라 기대합니다.