보편성(universality)이란 모델의 구체적인 미시적 형태에 의존하지 않고 공통적으로 나타나는 현상으로, 다양한 모델을 포괄하는 보편성 법칙을 증명하는 것은 수학에서 중요한 문제입니다. 이번 연구의 목표는 로그 상관관계 장(log-correlated fields)의 보편성을 규명하는 것입니다.

  로그 상관관계 장은 상관성(correlation)이 거리의 역수의 로그함수에 비례하여 감소하는 확률과정으로, 등각장론과 난류 이론 등 다양한 분야와 밀접한 연관성이 있는, 수리물리학과 확률론에서 폭넓게 연구되고 있는 모델입니다. 흥미롭게도, 이 로그 상관성은 무작위 행렬의 특성다항식, 리만-제타함수, 무작위 평면그래프와 같이 겉으로는 연관성이 없어 보이는 다양한 모델들에서 관측됩니다.

  하지만, 이러한 로그 상관관계 장의 성질은 특수한 모델들에 대해서만 단편적으로 연구되었으며, 이들을 아우르는 통합된 이론이나 결과는 존재하지 않습니다. 본 연구에서는 확률론적 관점과 기하학적 관점을 통해 다양한 로그 상관관계 모델들을 포괄하는 통합된 이론을 개발하여, 로그 상관관계 장의 보편적인 성질을 도출하는 것이 목표입니다. 본 연구를 통해 확률론 및 수리물리학의 발전뿐만 아니라 정수론, 조합론 등 다양한 수학 분야의 연결에 기여할 수 있을 것으로 기대됩니다.

1. 확률론적 관점: Gaussian Multiplicative Chaos

  입자 상태를 확률적으로 묘사하는 Gibbs measure는 일반적으로 온도가 변화함에 따라 그 성질이 갑작스럽게 변하는데, 이를 상전이 현상이라 부릅니다. Gaussian Multiplicative Chaos(GMC)는 로그 상관관계 장을 지수화해 얻어진 Gibbs measure로서, 로그 상관관계 장의 상전이 현상을 이해하는 데에 있어서 중요한 측도입니다. 로그 상관관계 장의 극 값과 등고선은 상전이 현상이 발생하는 정확한 온도를 결정하는 정보로서, 이들의 형태를 규명하는 것은 근본적으로 주요한 문제입니다. 이들은 복잡한 프랙탈 형태를 가지기 때문에 미시적인 관점에서는 그 분석이 어렵지만, 거시적인 구조는 GMC로 효과적으로 묘사된다고 추측되고 있습니다. 이번 제안 연구에서는 일반적인 로그 상관관계 장의 등고선과 GMC의 연관성을 확립하여 보편성을 도출하는 것이 목표입니다.

2. 기하학적 관점: Liouville Quantum Gravity

  Liouville Quantum Gravity(LQG)는 GMC와 연관된 무작위 거리공간입니다. 이는 무작위 평면그래프의 거시적인 형태를 묘사하는 자연스러운 거리공간입니다. LQG는 위상적으로는 유클리드 공간과 동형이지만, 기하학적으로는 Hausdorff 차원이 큰 복잡한 형태를 띠고 있습니다. LQG의 정량적인 프랙탈성을 이해하는 것은 중요한 문제이지만, 이에 대해서는 알려진 바가 거의 없습니다. 공간의 프랙탈한 정도를 측정하는 유용한 방법은 그 공간 위에서의 무작위 걸음의 비정상적인 성질을 연구하는 것입니다. 이번 제안 연구에서는 LQG 위에서의 무작위 걸음을 분석하여 LQG의 기하학적 성질을 얻어내는 것이 목표입니다.