다양체는 곡선 및 곡면을 일반적인 차원으로 자연스럽게 확장시킨 수학적 대상입니다. 다양체를 분류하는 것은 기하위상수학의 궁극적인 목표들 중 하나입니다. 가장 단순한 다양체인 고차원 구의 대수적 동치조건에 관한 일반화된 푸앵카레 가설(generalized Poincare conjecture)은 100여 년 동안 기하위상수학의 발전을 이끌었습니다. 일반화된 푸앵카레 가설 중 현재 미해결로 남아있는 유일한 경우는 매끄러운 4차원 푸앵카레 가설(smooth 4-dimensional Poincare conjecture)로 그 내용은 “모든 매끄러운 호모토피 4차원 구들은 4차원 구와 미분동형이다”입니다.

1976년에 카펠과 세너슨에 의해서 건설된 카펠-세너슨 호모토피 4차원 구(Cappell-Shaneson homotopy 4-spheres)들은 군론의 앤드류스-커티스 가설(Andrews-Curtis conjecture) 및 고리 이론의 일반화된 특성 R 가설(generalized property R conjecture)과의 연관성을 가지고 있는 흥미로운 예제들입니다. 이 카펠-세너슨 호모토피 4차원 구들은 많은 기하위상수학자들이 매끄러운 4차원 푸앵카레 가설의 반례가 될 것으로 예상하여 주목을 받아온 예제들입니다.

본 연구에서는 일반적인 카펠-세너슨 호모토피 4차원 구들의 핸들바디 구조(handlebody diagrams)를 새롭게 이해하는 방법론을 제시하고 이 방법론을 활용하여 이 카펠-세너슨 호모토피 4차원 구들이 모두 4차원 구와 미분동형임을 보여 매끄러운 4차원 푸앵카레 가설의 반례가 되지 않음을 보이고 앤드류스-커티스 가설, 일반화된 특성 R 가설들과의 연관성을 밝히는 후속 연구를 수행하고자 합니다.