단순연결된 리만곡면은 단위원판(unit disc), 복소평면(complex plane), 리만구면(Riemann sphere)의 세 모형 중 하나와 공형구조가 같다는 리만곡면의 균일화정리에 의해 모든 리만곡면은 이 세 모형의 상공간이 됩니다. 20세기 초 완성된 균일화정리 이후 곡면의 공형구조를 이해하는데 있어서 세 모형의 위상기하적 특성으로 구분되는 삼분법이 기본적인 접근 방법이 되어왔습니다. 이후 2차원 공형구조에 대응하는 다양한 기하의 연구에서 균일화정리와 같은 단순 명료함을 추구해 왔으며 다차원 복소구조의 연구에서도 균일화이론의 정립이라는 목표로 많은 연구가 이루어져 왔습니다.

복소다양체의 균일화이론의 한 축으로 음의 곡률을 가지는 콤팩트 캘러다양체의 범피복 분류 문제가 있으며 이는 유계대칭영역과 그 외의 모형에 대한 연구로 진행됐습니다. 유계대칭영역은 É. Cartan 교수의 비콤팩트형 에르미트 대칭공간과 정확히 일치하는 복소유클리드공간의 영역으로 복소기하학과 복소함수론에서 단위원판의 역할을 대체하는 이상적인 모형입니다. 그러나 Mostow-Siu 곡면과 같이 유계대칭영역을 범피복으로 갖지 않으나 여전히 강한 음의 곡률을 가지는 콤팩트 캘러다양체가 있음이 알려지면서 범피복의 분류라는 측면에서 균일화이론의 전개가 매우 복잡해졌습니다. 이에 존재성만 알려진 그리고 그 형태를 알 수 없는 Mostow-Siu곡면의 범피복을 이해하기 위해서는 유계대칭영역의 특성화가 더욱 중요합니다. 이러한 관점에서의 연구결과로 1989년 S. Frankel의 ‘콤팩트 상공간을 가지는 유계볼록영역’으로 유계대칭영역을 특성화한 정리가 있습니다. 이 정리의 주요 방법론인 아핀측도확대법은 단일매개변수 자기동형족의 존재를 확인하는 강력한 결과를 도출하나 적용가능한 대상이 유클리드공간의 볼록영역에 한정되는 한계를 가집니다. 이 한계는 이후의 연구에서도 크게 극복되지 못했고 따라서 Frankel 정리의 일반화에 관한 연구에도 괄목할 만한 성과가 없었습니다.

이 연구과제에서는 아핀측도확대법을 기하학적 언어로 재해석한 퍼텐셜측도확대법을 중심으로 유계대칭영역의 특성화와 균일화이론의 관련 연구에 도전하고자 합니다. 음의 리치곡률을 가지는 캘러다양체의 복소불변거리인 완비 캘러-아인슈타인 거리와 단일매개변수 자기동형족의 존재에 관한 연관성을 탐구하는 퍼텐셜측도확대법을 고도화하여 복소영역 및 다양체로서의 유계대칭영역 특성화 연구를 진행합니다. 또한 본 연구과정에서 얻은 다양한 수학적 지식을 바탕으로 균일화이론의 아직 해결이 요원한 여러 문제에 대한 접근 방향을 제시하고 도전하고자 합니다. 

음곡률을 가지는 캘러다양체의 균일화이론은 복소다양체의 분류에 있어서 중요한 축을 담당하는 주요 연구 주제입니다. 그러나 범피복의 비콤팩트성이라는 수학적 어려움은 방법론의 한계로 이어져 발전 속도가 더딜 수밖에 없었습니다. 퍼텐셜측도확대법은 아직 완성된 방법론이라 할 수 없으나 그렇기에 발전 방향도 폭넓을 것입니다. 본 연구과제의 수행을 통해 기존에 미처 보지 못한 복소기하의 다양한 측면을 발견함으로써 이 분야의 연구에 새로운 활력소를 불어넣을 수 있을 것으로 기대됩니다.