정수론의 아름다움을 잘 나타내는 결과 중 하나로, 라그랑주의 1770년 정리를 들 수 있습니다: “모든 양의 정수는 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있다.” 이와 같이 매개변수 (“양의 정수”) 와 미지수로 이루어진 방정식 (“네 제곱수의 합”) 이 주어졌을 때, 매개변수의 값에 따른 방정식의 정수해 유무의 관계를 밝히는 것을 디오판토스 문제라 칭합니다. 고대 그리스의 디오판토스를 포함하여, 수학자들은 수천년에 걸쳐 다양한 디오판토스 문제들의 해법을 추구해 왔습니다.

오랜 기간에 걸쳐 연구되었음에도 불구하고, 현재까지 해법이 밝혀진 디오판토스 문제들의 종류는 비교적 적습니다. 또한, 디오판토스 문제들의 일반적인 해법은 존재 불가능함이 1970년 마티야세비치에 의해 이론적으로 증명되었습니다. 한편, 이차형식의 정수해 풀이와 같이 밝혀진 해법들은, 대수적 정수론과 산술군 이론의 기반을 마련하는 등 현대 정수론에서 중심적인 역할을 하였습니다. 이를 감안하면, 새로운 종류의 디오판토스 문제들과 이들의 해법을 찾는 것은 정수론의 장기적 발전을 위한 가장 기초적이고 근본적인 숙제로 볼 수 있습니다.

이 관점에서, 디오판토스 문제의 해법에 관하여 20세기에 얻어진 가장 중요한 결과 중 하나는 선형 리 군의 균질공간을 기술하는 방정식들의 정수해 유한생성정리입니다. 이는 18세기 말 라그랑주 그리고 가우스의 이차형식 연구부터 시작하였으며 1962년 보렐과 하리쉬찬드라가 일반화하여 완성시킨 이론으로, 충분한 선형 대칭군을 가진 모든 디오판토스 방정식에 대하여 효과적인 해법을 제시합니다.

한편, 위상기하나 수리물리 등 수학의 각종 분야에서 자연스럽게 파생되는 많은 방정식들은 비선형 대칭군을 가지는데, 이들의 해법에 대해서는 일반적 이론이 아직 없습니다. 비선형 대칭군을 가진 방정식의 대표적인 예로, 곡면 기본군의 표현들을 매개변수화 하는 지표 다양체들이 있으며, 이들의 비선형 대칭군은 곡면의 매핑 클라스 그룹의 작용에서 나옵니다. 이 과제에서는, 지표 다양체와 같은 방정식들의 정수해 해법을 미분기하와 위상수학의 도구를 이용하여 연구하려 합니다. 이를 통해 디오판토스 문제의 새로운 방법론과, 정수 체계의 구조에 대한 새로운 이론을 설립하는 것이 목표입니다. 이 과정에서, 수학의 기초 개념인 정수들과 곡면들 간의 새로운 관계를 밝힐 수 있을 것으로 예상합니다.