현대 사회의 많은 데이터는 네트워크의 형태로 표현할 수 있고, 이 때 아주 큰 네트워크를 사용하게 되는 경우가 많습니다. 이럴 때 수학자들은 자연스레 큰 네트워크의 ‘극한’을 정의하여 모델링할 수 있지 않을까 하는 의문을 갖게 되는데, 지난 10년간 이러한 의문을 해결하기 위해 전개된 네트워크(그래프)의 극한 이론, 특히 ‘조밀 그래프의 극한 이론’에 많은 발전이 있었습니다.

조밀 그래프 극한 이론에서 큰 그래프의 극한으로 생각하는 대상은 ‘그래폰’이라 부르는 2변수 함수, 혹은 그래폰으로 만들어진 벡터 공간입니다. 이 때, 이 벡터 공간에 어떤 ‘거리’ – 수학자들이 노름(norm)이라 부르는 - 를 줄 수 있는지는 아주 기본적이면서도 중요한 수학적 질문이 됩니다. 이것은 마치 한 네트워크가 다른 네트워크와 얼마나 유사한지를 판별하는 하나의 기준을 설정하는 작업이라고 할 수 있습니다.

그래프의 유사 랜덤성(quasirandomness)과 극단 조합론의 난제들과 깊은 관련을 갖는 이 질문은 2008년 로바스에 의해 처음으로 제기되었는데, 조합론, 함수해석학, 확률론이 서로 얽혀 있는 아주 흥미로운 분야입니다. 또한 이 문제는 가워스 노름(Gowers norm)과의 연관성 때문에 조합적/해석적 정수론과도 닿아 있고, 군론, 그 중에서도 반사군(reflection groups)과도 흥미로운 방식으로 연결됨을 부분적으로 관찰할 수 있었습니다.

본 연구에서는 ‘그래프 노름’이라 불리는 그래프로 정의되는 함수 공간에서의 ‘표준 거리’와 반사군과의 깊은 연관성을 탐색해 보고자 합니다. 반사군을 이용하여 정의된 ‘반사 그래프’가 노름을 정의할 수 있음은 이미 알려져 있는데, 그 역문제, 즉 모든 그래프 노름은 그와 같은 방식으로 정의될 수밖에 없다는 것을 증명하는 것이 본 연구의 궁극적 목표입니다. 본 연구를 통해 개발될 새로운 방법들이 극단 조합론과 함수해석학, 그리고 군론을 아름답고 새로운 방식으로 연결시키는 계기가 될 것으로 기대됩니다.