복잡하고 다양한 크기의 소용돌이들을 자발적으로 형성하는 유체의 성질은 다빈치의 1507년 스케치에 잘 나타나 있습니다. 이러한 난류(turbulent flows) 현상은 비압축성 유체 연구의 가장 큰 동기가 되지만, 난류를 설명하는 물리 이론은 만족스럽지 않으며, 수치 계산을 이용한 접근에서는 유체의 점성이 작은 경우 오랜 시간이 소요됩니다.

이번에 도전하는 과제는 현대 해석학의 도구들을 이용하여 난류 현상에 관하여 수학적으로 엄밀한 결과들을 도출해 내는 것입니다. 최종적인 목표는 실험적으로 잘 알려져 있는 운동에너지의 변칙적인 소산(anomalous dissipation)이라는 현상과, 매끄러운(smooth) 유체방정식의 해가 시간이 흐른 후 난류를 형성하는 과정을 증명해 내고자 합니다. 유체방정식의 해가 변칙적인 소산을 나타내려면 유체의 속도 벡터가 시공간에서 평균적으로 1/3의 횔더(Hölder) 지수를 갖는 형태를 취해야 되는데, 초기에 매끄러운 속도 벡터가 어떤 구체적인 메커니즘을 통하여 그렇게 변형될 수 있는지가 커다란 궁금증으로 남아 있습니다.

유체의 운동은 나비어-스톡스 방정식(Navier-Stokes' equation)에 의하여 기술되지만, 난류 현상에 관하여 의미 있는 나비어-스톡스 방정식에 대한 결과는 유체의 점성의 크기에 관련이 없어야 하고, 비점성 극한(inviscid limit)으로 주어지는 오일러 방정식(Euler equations)의 해의 성질과 밀접한 연관을 갖게 됩니다. 그러므로 자연스럽게 오일러 방정식에 대하여 난류현상을 나타낼 수 있는 해를 건설하는 문제가 나타나게 됩니다. 이에 대한 첫 단계로, 다양한 회전 대칭성(rotational symmetry)을 가지는 유체를 고려할 수 있다. 이러한 단순화는 방정식의 비국소성(non-locality)으로 인한 어려움을 감소시키면서도, 난류의 형성 메커니즘을 드러낸다고 볼 수 있습니다.

본 연구에서는 회전 대칭성과 함께, 추가적인 자기 닮음구조(self-similar structure), 척도 불변성(scale-invariance) 과 같은 대칭성을 갖는 유체를 고려하고, 운동에너지의 변칙적인 소산을 나타내는 오일러 해의 건설을 목표로 하고 있습니다. 최근에 개발된 모듈레이션 해석(modulation analysis) 과 부르갱-리(Bourgain-Li)와 키셀레브-스베락(Kiselev-Sverak)에 의하여 증명된 이중 리즈변환(Riesz transform)에 대한 보조정리들이 중요한 역할을 할 것으로 생각합니다.