20세기에 접어들어 정수론은 local-global principle(또는 이의 obstruction)이라는 방법을 통해 현대 정수론의 틀을 갖추게 되면서 비약적인 발전을 이루게 된다. 여기에서 local-global principle의 가장 간단한 형태는 아래와 같다. 가령 x^² - 23y^² = 3와 같은 정수계수 방정식의 정수해를 찾는 문제는 일반적으로 매우 어렵다. 하지만 이 문제를, 각 소수 p에 대해, p^ⁿ으로 나눈 후 그 나머지를 찾는 문제로 변형을 한다면 이는 비교적 쉽게 풀 수 있다. 이렇게 정수계수를 가진 수학적 대상을 연구하는 것을 우선 각 소수 p에 대한 수학적 대상으로 바꾸어서 연구한 후, 다시 이를 종합하여 원래 문제의 해법을 찾는 방법을 local-global principle이라 부른다. 이는 마치 숲을 연구하기 위해 나무의 특성을 연구한 후 이를 종합하여 숲의 형태를 들여다 보는, 타 분야 학문의 이치와도 맞닿아 있다.

이러한 local-global principle의 개념은 현대정수론에서 가장 아름다운 공식으로 불리는 Arthur-Selbeg trace formula 와 Siegel mass formula로 발전하게 된다. 기본보조정리(the Fundamental Lemma)는 Arthur-Selberg trace formula를 더욱 완전한 형식으로 변형하기 위한 필수적인 요소이다. 이는 10여년전 베트남/프랑스 수학자인 Ngo에 의해 해결이 되었으며, Ngo는 이 업적으로 수학계의 가장 유명한 상인 필즈메달을 수여받았다. 또한 이 Ngo의 업적은 Time지가 선정한 2009년 과학계의 가장 중요한 업적 10가지 중 하나로 선정이 되었다.

또 다른 연구 주제인 지겔질량식(Siegel mass formula)을 완성하는 문제는 20세기 정수론의 가장 중요한 가설 중 하나인 Weil’s conjecture on Tamagawa number로 불렸다. 이는 표수(characteristic)가 0인 체(field)위에서는 Langlands, Lai 그리고 마침내 Kottwitz에 의해 1988년 완전히 해결이 되었으며, 표수가 p인 체 위에서는 2011년 Gaitsgory와 Lurie에 의해 위상수학과 대수기하학을 접목한 매우 난해한 방법론을 통해 드디어 해결이 되었다.

한편, 기본보조정리와 지겔질량식을 결정하는 핵심요소는 orbital integral(궤도적분)과 local density라 불리며 이들 모두는 각 소수 p위에서 주어진 기하학적 대상의 부피(p-adic integration)로 묘사된다. 지겔질량식에 대응되는 local density의 정확한 계산값을 구하는 문제는 특수한 조건을 만족하는 정수계수다항식을 분류하는 문제(classification)에서 반드시 선행되어야 하는 필수요소이다.

Smoothening은 프랑스 수학자 Néron에 의해 처음으로 알려졌으며, 20세기 최고의 수학자로 불리는 Grothendieck은 이를 매우 중요하게 생각하여 당시 학생신분이었던 Raynaud에게 대수기하학의 언어를 사용하여 재해석하는 것을 학위주제로 주었다. 이 Raynaud의 방법은 이론상으로는 완벽하지만 그 방법이 매우 난해하기에, 실제로 적용하기에 큰 어려움이 있었다.

위에서 설명한 orbital integral과 local density는 smoothening을 통해 기하학의 문제로 변형이 된다.   본 연구과제에서는 smoothening을 매우 직관적이면서 간단하게 묘사하는 방법을 찾는 것을 통해 orbital integral과 local density를 새롭게 연구하고자 한다.   이를 통해 기본보조정리의 새로운 증명과 지겔질량식의 정확한 계산값을 구하여 정수론의 분류문제에 이론적 토대를 제공하는 것이 본 연구과제의 목표이다.   또한 이를 이용하여 arithmetic Fundamental Lemma 등과 같은 Arthur-Selberg trace formula를 사용하는 많은 문제에 대한 새로운 접근방법을 제시하는 것 또한 기대효과로 볼 수 있다.