기하학에서 가장 기본적인 불변량은 길이(1D)/넓이(2D)/부피(3D)들이라 할 수 있다. 3차원 공간의 경우에는 천-사이먼스 불변량(Chern-Simons invariant)이라는 특별한 불변량이 존재하는데, 이 불변량은 1970년 초반에 천(Chern)과 사이먼스(Simons)에 의해 미분기하학 연구에서 발견된 이래, 현재는, 특히 3차원 쌍곡 다양체에 대해서, 기하/위상수학 뿐만 아니라, 이론물리학에서도 아주 중요한 관심과 연구대상이다. 하지만, 3차원 쌍곡 다양체의 기본적인 이 두 불변량인 부피와 천-사이먼스 불변량에 대한 수론적 또는 기하위상적 이해는 매우 빈약하다 할 수 있다. 예를 들어, 3차원 쌍곡 다양체의 부피나 천-사이몬스 불변량이 무리수가 될 수 있는지에 대한 답이 알려져 있지 않다.

한편, 3차원 쌍곡 다양체의 부피와 천-사이몬스 불변량을 algebraic K-theory group을 통하여 이해하는 결과들이 있었다. K-theory group의 중요한 성질 가운데 하나는 원래는 위상(호모토피 이론)적 방법으로 정의되나, 대수기하적으로 정의되는 모티빅 코호몰로지(motivic cohomology)와 동일시 될 수 있다는 것이다. 이로부터 3차원 쌍곡 다양체의 미분기하적 불변량의 연구에서 대수기하나 수론의 도구의 활용 가능성을 생각해볼 수 있다. 

본 연구자는 최근에 이러한 발상을 구체화하는 결과들을 얻었다. 먼저, 임의의 3차원 쌍곡 다양체에 대해 부피와 천-사이몬스 불변량에 관한 정보를 모두 갖고 있는 “천-사이몬스 혼합 테이트 모티브(Chern-Simons mixed Tate motive)”라 불리는 모티빅 코호몰로지의 원소를 찾아냈다. 또한, 3차원 쌍곡 다양체의 부피와 천-사이몬스 불변량이 그 다양체의 위상적 기본군(fundamental group)만을 이용하여 대수기하적으로 자연스럽게 정의되는 어떤 혼합 호지구조(mixed Hodge structure)를 통해 얻어질 수 있음도 보였다. 이 결과는 3차원 쌍곡 다양체의 미분기하적 불변량이 사실 호모토피 불변량이어야 한다는 모스토우 강직성 정리(Mostow rigidity theorem)의 대수기하적 발현으로 볼 수 있다.

본 연구는 이 Chern-Simons 혼합 테이트 모티브의 산술기하적 성질을 이해하고 주어진 3차원 쌍곡 다양체의 기하위상적 성질과의 관련성을 발견하는 것을 목표로 한다. 특히, 이를 위해 주어진 3차원 쌍곡 다양체의 캐릭터 대수다양체(character variety)의 모티빅 기본준군(motivic fundamental groupoid)과의 관계를 확립하고 이용하는 문제의 해결에 진전을 이루고자 한다.

기하학에서 가장 기본적인 불변량은 길이(1D)/넓이(2D)/부피(3D)들이라 할 수 있다. 3차원 공간의 경우에는 천-사이먼스 불변량(Chern-Simons invariant)이라는 특별한 불변량이 존재하는데, 이 불변량은 1970년 초반에 천(Chern)과 사이먼스(Simons)에 의해 미분기하학 연구에서 발견된 이래, 현재는, 특히 3차원 쌍곡 다양체에 대해서, 기하/위상수학 뿐만 아니라, 이론물리학에서도 아주 중요한 관심과 연구대상이다. 하지만, 3차원 쌍곡 다양체의 기본적인 이 두 불변량인 부피와 천-사이먼스 불변량에 대한 수론적 또는 기하위상적 이해는 매우 빈약하다 할 수 있다. 예를 들어, 3차원 쌍곡 다양체의 부피나 천-사이몬스 불변량이 무리수가 될 수 있는지에 대한 답이 알려져 있지 않다.   한편, 3차원 쌍곡 다양체의 부피와 천-사이몬스 불변량을 algebr