거시적 우주를 관장하는 아인슈타인의 일반상대성 이론에서부터 미소현상을 설명하는 장이론까지, 비선형 쌍곡 편미분 방정식(nonlinear hyperbolic PDEs)은 다양한 물리현상을 기술하는데 사용됩니다. 본 연구의 목표는 현대 기하학(geometry) 및 조화해석학 (harmonic analysis) 기법을 사용해, 물리에서 비롯된 주요 비선형 쌍곡 편미분 방정식의 장기적 행태와 그 특이점의 성질을 이해하는 것입니다. 구체적인 목표는 다음과 같습니다:

- 비선형 시그마 모델 (nonlinear 𝛔- model), 양-밀스 (Yang-Mills) 방정식, 천-사이먼스 (Chern-Simons) 등 상대론적 장론에서 비롯된 반선형(semilinear) 기하학적 쌍곡 편미분 방정식은 비선형 항이 최고차항을 포함하지 않는다는 특징이 있습니다. 이런 특징에 의해 섬세한 조화해석학적 기법이 적용가능하며, 이를 통해 해의 정칙성 문제에 대하여 최근 많은 진전이 있었습니다. 본 연구의 첫번째 목표는 이러한 쌍곡 방정식의 정칙성 결과와, (보다 잘 이해된) 기하학적 타원 편미분 방정식에서 특이점을 연구하는 기법을 연결해, 반선형 기하학적 쌍곡 편미분 방정식의 해의 특이점 및 장기적 행태에 대한 더욱 강한 결과를 증명하는 것 입니다.

- 아인슈타인 (Einstein) 방정식을 비롯한 준선형 (quasilinear) 쌍곡 편미분 방정식의 경우 비선형 항이 최고차항을 포함하기 때문에, 섬세한 조화해석학적 기법의 적용이 매우 어렵습니다. 이로 인해 준선형 쌍곡 편미분 방정식의 정칙성에 대한 이해는 아직 불완전한 상태입니다 . 본 연구의 두 번째 목표는 보다 안정적이지만 덜 섬세한 에너지 기법과(energy method)과 조화해석학적 아이디어를 합쳐, 준선형 쌍곡 편미분 방정식의 정칙성에 대한 이해를 증진시킬 수 있는 기법을 개발하는 것입니다.

- 본 연구의 마지막 목표는 회전하는 블랙홀 외부에서 정의된 선형 및 비선형 쌍곡 편미분 방정식의 해의 장기적 행태를 이해하는 기법을 개발하는 것입니다. 특히 블랙홀 영역의 경계 (사건 지평선)에서 일반적인 해가 특정한 행태를 가진다는 것을 보이는 문제는, 일반 상대성 이론의 주요 문제 중 하나인 강한 우주 검열 가설 (strong cosmic censorship conjecture)과 깊은 관련이 있습니다. 현재까지 관련된 결과는 주로 구형 대칭성 하에서만 알려져 있으며, 이러한 대칭성을 이용하지 않는 새로운 방법론을 찾아내는 것이 주 목표입니다.