매듭이론은 다양체에 매장(embedding)된 부분 다양체들에 관한 이론입니다. 매듭이론은 그 자체로도 흥미로운 대상이면서 매듭이 매장된 다양체의 위상, 미분, 기하 구조의 연구에도 중요하게 사용됩니다. 특히 4차원 다양체론에서는 4차원 다양체를 곡면매듭(surface knot)을 따라 수술(surgery)을 하여 위상구조는 같으나 미분 구조가 다른 이국적 다양체(exotic manifold)를 만들거나, 4차원 다양체의 미분동형군(diffeomorphism group)의 호모토피군(homotopy group)을 계산하는 등의 연구가 진행되고 있습니다. 하지만 곡면매듭은 표현과 생성의 복잡함 등으로 인해 3차원 공간의 매듭이론보다 훨씬 적은 연구가 이루어져 있습니다. 예를 들어 3차원에서는 매듭을 만드는 방법이 다양하게 연구되어 있지만 4차원에서는 몇 가지 한정적인 방법만이 알려져 있을 뿐입니다. 또한 4차원 다양체 및 곡면매듭론에서는 3차원에서 참이었던 여러 가지 명제들이 거짓인 경우가 많아 그 반례가 될 후보들을 찾는 것이 매우 중요한데 앞서 언급한 이유로 인해 연구의 한계가 존재합니다. 이에 본 연구과제에서는 다양한 곡면매듭을 만드는 방법을 연구하고, 이를 이용하여 곡면매듭론과 다양체의 미분구조에 대한 미해결 문제들을 연구하고자 합니다.

[주제1] Smooth Unknotting and New Geometric Constructions
Smooth unknotting conjecture는 4차원 구 내부의 곡면매듭의 여공간의 기본군이 순환군일 때 곡면매듭이 매끄럽게 풀려있다(smoothly unknotted)는 추측입니다. 이 문제는 비가향(non-orientable) 곡면매듭에서는 많은 경우 반례가 발견 되었지만 가향(orientable) 곡면매듭에서는 증명도, 반증도 되지 않았습니다. 본 과제에서는 곡면 매듭을 만드는 다양한 방법들을 연구하여 이를 통해 smooth unknotting conjecture의 반례가 될 수 있는 다양한 예들을 생성하고, smooth unknotting conjecture를 검증하는 연구를 진행하고자 합니다.

[주제2] Knotted surfaces and machine learning
3차원 매듭이론에서는 매듭의 분류 및 분류 된 매듭들의 불변량을 포함한 다양한 정보들에 대한 데이터베이스가 많이 존재하여 기계학습을 이용한 연구가 활발히 진행되고 있으나 4차원의 곡면매듭은 이런 데이터베이스가 부족하여 이런 연구가 활발하지 않습니다. 본 과제에서는 곡면매듭의 데이터베이스를 구축하고 이를 이용하여 곡면매듭의 다양한 난제들을 기계학습을 이용하여 연구하고자 합니다.

[주제3] Knotted surfaces and exotic 4-manifolds
매끄러운 4차원 푸앵카레 추측(smooth 4-dimensional Poincaré conjecture, SPC4)는 4차원 구와 호모토피 동치(homotopy equivalent)한 미분 다양체는 미분 동형(diffeomorphic)하다는 추측으로 아직 해결되지 않은 저차원 위상수학의 가장 중요한 난제중 하나입니다. SPC4의 반례를 만드는 연구에는 다양한 곡면 매듭이 사용되고 있습니다. 본 과제에서는 앞서 언급한 연구들에서 만들어진 곡면매듭을 만드는 방법을 이용하여 SPC4의 잠재적 반례들을 만들어내고, 이들의 미분구조를 연구하고자 합니다.