고차방정식의 근을 제곱근과 사칙연산만으로 표현하기 위한 노력의 결실으로 19세기 초반 갈루아(Galois) 이론이 탄생하였습니다. 갈루아 이론은 군(group) 이론을 갈루아 군에 적용하여, 주어진 고차방정식의 근이 제곱근과 사칙연산만을 사용하여 계수에 대한 식으로 표현 가능한지, 즉, 근의 공식 존재 여부를 판별해 줍니다. 이 판별 과정에서 기준이 되는 군의 성질은 가해성(solvability)이며, 이로 인하여 가환(commutative) 갈루아 군은 특별한 중요성을 지니게 됩니다.

갈루아 이론이 발전하고 가환 갈루아 군에 대한 연구가 진행되면서, 초등정수론의 빛나는 성취라 할 수 있는 저차 상호법칙에 대한 현대적 관점이 수립되었고, 이는 20세기 전반부에 걸쳐 구성된 유체론(class field theory)에  기반하여 고차 상호법칙으로 발전하였습니다. 또한, 유체론은 대수적 수(algebraic number) 이론의 핵심 축을 이루며 정수론 안팎으로 활발히 응용되고 있습니다.

유체론 적용에 있어 주요한 개념으로는 아틴 상징(Artin symbol)과 거듭제곱 잉여 상징(power residue symbol)이 있습니다. 르장드르 상징(Legendre symbol)은 거듭제곱 잉여 상징의 일종으로 유체론 이전부터 연구되었던 대상이며, 아틴 상징의 경우 갈루아 이론에 기반한 개념으로 유체론 구성에 있어 핵심 역할을 수행합니다. 유체론이 가환 갈루아 군에 대한 이론으로 큰 성공을 거둔 만큼, 이를 비가환(non-commutative) 갈루아 군에 대한 이론으로 확장하는 문제는 정수론 연구의 당면 과제로 남아 있습니다. 비가환 갈루아 군에 대한 아틴 상징 분석은 랭글랜즈 프로그램(Langlands  program)이 청사진을 제공하고 있으나, 거듭제곱 잉여 상징에 대한 이해는 상대적으로 취약합니다. 본 과제는 거듭제곱 잉여 상징 중 이차 잉여 상징인 르장드르 상징에 대하여 그 개념을 유체론 범위를 넘어 확장하는 것을 그 목표로 합니다.

이러한 시도의 역사는 정수론을 위상적 관점에서 이해하려는 노력과 밀접한 연관이 있습니다. 유체론의 태동과 동시대적으로 위상(topology) 연구에서는 호몰로지(homology)와 코호몰로지(cohomology) 개념이 정립되었습니다. 이를 대수(algebra) 맥락에서 차용한 군에 대한 코호몰로지 이론은 유체론의 한 축으로 자리잡았으며, 이를 기반으로 수체(number field)와 3차원 다양체(manifold)의 구조 간 비유적 유사성이 드러났습니다. 이 유사성을 기반으로하여, 저차 상호법칙의 주제인 르장드르 상징과에 대한 새로운 해석이 가능해졌습니다. 더 나아가, 이 유사성에 기반하여 20세기 초반 대수적 관점에서 발견되었던 레데이 상징(Rédei symbol)을 르장드르 상징의 삼중 일반화로 해석하게 되었고, 이는 레데이 상징 연구에 활력을 불어넣었습니다. 그 결과로, 레데이 상징의 상호법칙에 대한 새로운 증명이 발견되고, 동시에 레데이 상징의 개념이 일반적 삼중상징(triple symbol) 개념으로 발전하였습니다.

본 과제는 삼중상징에 해당하는 레데이 상징을 다중상징(multiple symbol)로 일반화하고 그 상호법칙을 증명하는 것을 목표로 합니다.