현대 사교기하학의 시작은 푸앵카레의 삼체문제 연구에서 비롯되었습니다. 그는 천체의 운동이 만들어내는 기하학적•위상적 구조를 탐구하였고, 이를 통해 해밀턴 역학계의 주기 궤도에 대한 아놀드 추측(Arnold conjecture)이 등장하였습니다. 이 추측을 해결하기 위해 플로어(Floer)는 주기 궤도를 임계점으로 갖는 작용함수(action functional)를 해석하는 새로운 틀을 세웠으며, 이렇게 탄생한 플로어 이론은 이후 사교기하학(Symplectic geometry)의 핵심적이고 강력한 도구로 자리 잡았습니다. 

본 연구는 사교기하학의 기원인 천체역학으로 다시 시선을 돌려, 시간에 따라 전체 에너지가 변하는 천체역학계(Celestial Mechanics)-예를 들어, 태양•지구•달의 중력의 영향 아래에서 우주선의 운동을 기술하는 bicircular restricted four-body problem-를 플로어 이론의 관점에서 새롭게 탐구하고자 합니다. 천체역학계에서는 일반적으로 발생하는 천체들 간의 충돌이 운동방정식에 특이점(singularity)을 일으키므로, 잘 정의된 작용함수를 얻기 위해서는 이를 정칙화(regularization)해야 합니다. 그러나 전체 에너지가 시간에 의존하는 계에서는 에너지 보존법칙이 성립하지 않기 때문에, 고전적인 국소 정칙화 기법을 적용할 수 없습니다. 이러한 한계로 인해, 시간의존적 천체역학계는 오랫동안 사교기하학의 이론적 분석 범위를 넘어서는 영역으로 남아 있었습니다.

최근 Barutello, Ortega, Verzini는 닫힌 끈공간(loop space)을 blow up하는 새로운 정칙화 기법을 제안하여, 충돌로 인한 특이점을 해소하는 데 성공하였습니다. 흥미롭게도, 이 방법을 통해 얻은 정칙화된 작용함수의 임계점들은 특정한 시각에서의 상태가 궤도 전체에 의존하는 비국소적 성질을 지닙니다. 그 결과, 운동방정식은 더 이상 상미분방정식(ordinary differential equations)이 아니라 지연미분방정식(delay differential equations)의 형태를 띠게 됩니다. 이러한 비국소성은 기존 플로어 이론의 핵심 기반이었던 elliptic PDE 및 Fredholm 이론에 기반한 해석학적 기법들이 더 이상 적용되지 않게 하므로, 플로어 이론을 통해 시간의존적 천체역학계를 분석하기 위해서는 새로운 도구가 필요합니다.

이러한 배경에서 본 연구는 Hofer, Wysocki, Zehnder가 도입한 Polyfold theory를 핵심적인 도구로 활용하여 비국소적 플로어 호몰로지(non-local Floer homology)를 구축하고자 합니다. 이를 통해 시간에 의존하는 천체역학계에 플로어 이론을 적용하는 첫 시도를 이루고, 나아가 지연미분방정식이 기술하는 비국소적인 현상을 사교기하학적으로 해석할 수 있는 새로운 방법론을 제시함으로써, 두 분야 사이의 연결고리를 제공할 것으로 기대합니다.