최근 양자정보이론의 주요 문제들을 해결하기 위해 다양한 수학 이론들이 응용되고 있으며, 올해에는 특히 작용소대수 이론과 양자정보론의 관련성이 큰 화제였습니다. 필즈상 수상자인 Alain Connes이 제기한 이른바 Connes의 embedding 문제는 작용소대수 분야에서 가장 중요한 난제 중 하나였는데, 이를 해결하였음을 주장하는 논문 초안이 arXiv에 게재되었기 때문입니다. 사실 이는 급작스러운 일은 아니었습니다. 2009년부터 2013년까지 작용소대수 분야 연구자들의 노력으로 Connes의 embedding 문제가 양자정보론에서의 주요 난제 중 하나였던 Tsirelson 문제와 동등함이 밝혀졌고, 이에 따라 Tsirelson 문제를 해결하기 위한 많은 노력이 있었습니다. 실제로 위에서 언급한 논문 초안은 계산 복잡도 이론을 응용하여 Tsirelson 문제에 반례가 존재한다는 것을 206쪽에 걸쳐 설명하고 있습니다. 이 결과는 사실로 받아들여지고 있으며, 작용소대수 이론과 양자정보론 간의 학제적 연구들이 일궈낸 쾌거라 할 수 있겠습니다.

이러한 연구 동향이 형성된 배경에는 2009년에 이루어진 Hastings의 연구가 있다. 양자정보이론에서 가장 오래되고 중요한 문제 중 하나는 채널용량을 계산해내는 것입니다. 양자상태가 다른 양자상태로 변환되는 과정을 양자채널 Φ,Ψ로 기술하는데, 채널용량은 주어진 양자채널 하에서의 정보 전송률을 의미합니다. 많은 연구자들이 궁금해하였던 것은 독립적으로 작용하는 양자채널 Φ,Ψ가 주어질 경우, 양자얽힘(quantum entanglement) 현상을 이용하여 정보 전송률을 높일 수 있는지 여부였다. 보다 자세히는 Holevo 정보량 χ(Φ)에 대하여 다음의 부등식

χ(Φ⨂Ψ) > χ(Φ) + χ(Ψ)

을 만족하는 양자채널 Φ,Ψ를 찾을 수 있는지가 오랜 기간 난제였는데, 이는 Shannon 정보이론에서는 관측되지 않는 현상입니다. 하지만 Hastings에 의해 양자통신 상황에서는 이러한 현상이 존재함이 밝혀졌으며, 양자얽힘 현상이 정보 전송 수월성에 기여할 수 있는 분명한 사례를 발견한 것이라 할 수 있습니다. 이는 많은 학제적 연구들이 이루어지게 되는 중요한 계기가 되었으며, 특히 함수해석학, 랜덤행렬론, 작용소대수 이론 학자들의 노력 덕분에 수학적 구조가 상당히 분명해졌습니다.

본 과제의 목표는 작용소대수 방법론을 양자정보론 주요 문제들을 연구하는 데에 적극적으로 응용하는 것입니다. Hastings의 연구는 정보 전송률 계산이 본질적으로 어려울 수밖에 없음을 시사하고 있으며, 현재로서는 일반적 방법론을 찾는 것이 요원한 상황입니다. 하지만 정보 전송률을 계산하는 데에 있어서 작용소대수 이론이 다른 이론들에 비해 갖는 분명한 장점이 있다는 것을 최근 확인하였습니다. 이외에도 작용소대수 이론을 응용하여 (양자)대칭성이 양자채널의 구조에 미치는 영향, 양자정보 전송률의 초활성화, 랜덤양자상태에서의 양자상호정보량 증가 등을 규명하는 연구 등을 진행할 예정입니다. 본 과제를 수행함으로써 작용소대수 이론의 발전과 더불어 양자정보론 주요 문제들을 해결해내는 것을 목표로 삼고 있습니다.