수학의 대통합 이론이라고 불리우기도 하는 랭글랜즈 프로그램(global Langlands program)은 수학의 대수학, 해석학, 기하학을 연결 시키는 연구분야이다. 예를 들어, 보형성 올림 정리(modularity lifting theorem)는 주어진 갈루아 표현(global Galois representation)이 어떤 보형 표현(global automorphic representation)에 의해 결정되는지에 대한 질문의 답을 주는데, 1995년 Wiles가 페르마의 마지막 정리를 증명하면서 그 이론이 시작되었고, 대역적 랭글랜즈 프로그램의 한 축을 담당하고 있다.

랭글랜즈 프로그램에는 대역적 랭글랜즈 뿐만 아니라, 국소 랭글랜즈, p-adic 랭글랜즈, 그리고 mod-p 랭글랜즈 등이 있는데, 이들은 모두 갈루아 side와 보형 side의 특정한 대상들간에 대응관계를 연구하는 분야이다. 최근 20년동안 랭글랜즈 프로그램에서 가장 큰 진전 중 하나는, p-adic 랭글랜즈 대응과 그것의 mod-p 형태인 mod-p 랭글랜즈 대응을 예측한 것으로 ICM 2010에서 Breuil에 의해 소개되었다. 그리고 이 두 개의 대응관계는 local-global compatibility라 불리며 대역적 랭글랜즈 대응과 호환되기를 기대하며 ICM 2014에서 Emerton에 의해 소개되었다.

mod-p 랭글랜즈 프로그램은 주어진 mod-p 국소 갈루아 표현에 mod-p 국소 보형 표현을 자연스럽게 대응시키는 연구분야인데, 아주 적은 경우에만 알려져 있다. 진전이 더딘 가장 큰 이유는 mod-p 국소 보형 표현들의 분류(classification)가 아직 없기 때문이다. 분류를 향한 지금까지의 연구는 기존의 방법으로는 새로운 mod-p 국소 보형 표현들을 생성할 수 없다라는 결과들만 있는 상태이고, 빠른 시일 내에 분류에서 큰 진전이 있을 것이라고 예상되지는 않는다.

주어진 mod-p 국소 갈루아 표현에 대응하는 mod-p 국소 보형 표현의 후보자를 대역적 랭글랜즈에 의해 대응되는 mod-p 보형 형식(automorphic forms)들로 이루어진 공간으로 정의할 수 있는데, 이 후보자가 주어진 mod-p 국소 갈루아 표현에 관한 정보를 모두 가지고 있는지에 관한 질문은, mod-p local-global compatibility라 불리우며, 현재 mod-p 랭글랜즈 프로그램에 관련된 가장 중요한 문제 중 하나이다.

이 연구에서는 주어진 mod-p 국소 갈루아 표현에 관한 정보를 모두 가지고 있는 불변식들을 새로이 정의된 Jacobi sum operator들의 고유값들로 이 후보자 내에서 찾아내는 방법으로 접근 하려고 한다.

이 연구가 진전이 있다면 지금까지 그림 조차 잘 그려지지 않던 mod-p 랭글랜즈 대응관계에서 이 후보자가 옳은 후보라는 것을 증명하는 것이며, 그 후보자 내에 mod-p 국소 갈루아 표현에 대한 정보가 어떤 형태로 존재하는지 묘사할 수도 있다. 뿐만 아니라, 관련된 유명 가설들 weight part of Serre’s conjecture, Breuil—Mezard conjecture, 보형성 올림 정리 등의 발달에도 직간접적으로 큰 영향을 미칠 것이라고 예상된다.

* 갈루아 표현: 갈루아 군을 직접 연구하는 것이 쉽지 않아 수학자들이 상대적으로 잘 이해하고 있는 행렬을 통해 갈루아 군을 연구하는 것이 갈루아 군의 행렬 표현론, 줄여서 갈루아 표현이라 한다.

* 보형 형식: 보형 형식은 2차원인 경우에는 복소 상반면에서 정의된 해석적 함수들 중에 특정 방정식을 만족하는 함수들을 말한다. 정의 자체가 복소 해석학적으로 주어져 있지만, 보형 형식의 특징은 복소 해석학적 정의와 동일한 기하학적 대수학적 정의도 존재한다.

* 보형 표현: 특정한 조건을 만족하는 보형 형식들로 이루어진 공간으로써, 주로 무한 차원 공간이며 행렬군의 작용을 가지고 있다.