수를 더하고 곱할 때 나타나는 현상을 관찰하고, 설명하고, 예측하는 일련의 활동을 산술(Arithmetic)이라고 한다. 가령, 제곱하여 얻어진 수

1, 4, 9, 16, 25, 36, ．． , 144, 169, ．．.

를 더하다 보면

9+16=25

25+144=169

．．.

를 관찰할 수 있다. 제곱수의 합에 관한 이러한 성질은, 동서양의 고대문명에서 다발적으로 발견되고 활용되었다. 지구의 역사에서 고대문명이라는 것이 최근의 일이지만, 수학이 가지는 보편성을 찾는 사람의 입장에서는 고무적이다. 보편성과 활용성을 겸비한 산술의 가치는 현대에 이르기까지 꾸준히 추구되고 있다.

보편성 및 활용성으로부터 공히 거리가 멀지만 대중 매체 덕에 널리 알려진 비근한 예로, 페르마(Fermat)라는 수학자에 얽힌 일화가 있다. 여기서 다뤄지는 질문은 3이상의 자연수 n에 대하여 두 개의 n-제곱수가 다시 n-제곱수가 될 수 있느냐 하는 것이다. 이것의 불가능성은 1630년경 페르마가 디오판투스(Diophantus)의 저작 ‘산술(Arithmetica)’의 여백에 기록한 것으로 알려지고, ‘페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem)’라고 일컫는다. 후대 사람들의 꾸준한 도전에도 불구하고 오랜 기간 미해결 문제로 남았다.

페르마의 마지막 정리에 관한 이해는 20세기 후반부에 본격적으로 집적되어 1994년 발표된 와일즈(Wiles)의 증명이 최초로 인정받았다. 보편성을 추구하는 수학자들의 성향에 비추어 볼 때, 페르마의 마지막 정리는 지나치게 특수하지만, 그 증명에 사용된 방법론은 정교하고 창의적이면서도 새로운 지평을 열고 있다. 그 전모를 드러내기에 역량이 부족하지만, 거기서 얻은 교훈을 하나 소개하려 한다.

제곱수의 합이나 n-제곱수의 합 등을 다루는 것은 일반적으로 방정식을 푸는 활동으로 볼 수 있다. 한편, 수학자들이 즐기는 활동으로 ‘분류하기(classification)’가 있다. 페르마로부터 시작된 일화는 이 두 가지가 극적으로 만나는 과정으로 볼 수 있다. 와일즈는 '타원곡선(elliptic curve) 분류하기'에 관한 '타니야마-시무라 가설(Taniyama-Shimura Conjecture)'을 대부분 증명하였고, 그 결과로 페르마의 마지막 정리를 증명하였다. 어찌됐건 와일즈가 마무리한 증명을 간추리면, 방정식 문제를 분류 문제로 환원하여 해결하였다는 것이다. 사실, 방정식의 해법을 분류 문제로 환원하는 전략은 팔팅스(Faltings)가 모델 가설(Mordell conjecture)을 성공적으로 공략한 1983년에도 사용되었고, 이러한 종류의 환원이 가능하다는 것은 놀라운 일이 아니다. 관건은 목적하는 분류 문제를 해결할 방법을 고안해 내는 것이다.

21세기 초입에 등장한 '셀머 다양체(Selmer Variety)'는 위 맥락에서 이해할 수 있다. 왜냐하면, 셀머 다양체는 방정식 해법을 분류 문제로 환원하기 위한 통로이기 때문이다. 셀머 다양체 연구를 통해 팔팅스 등에 의해 해결된 모델 가설의 일부를 재확인하는 한편, 아직 난공불락으로 남아있는 효과적 모델 가설(effective Mordell conjecture)에 대하여 유의미한 진전을 이루어냈다. 셀머 다양체를 이용한 접근은 방정식의 해법을 분류 문제로 환원한다는 점에서는 과거의 기법들과 같으나, 그 차이는 분류 문제를 해결하는 방안에 있다. 차이점은 두 가지로 요약할 수 있는데, 첫째는 '셀머 군(Selmer group)'에 관한 정보들을 활용할 수 있다는 것이고, 둘째는 콜만 적분(Coleman integral)을 통해 효과적 모델 가설을 공략할 수 있다는 것이다.

본 과제에서는 셀머 다양체의 개념 확장 및 이에 대한 체계적인 이해를 도모한다. 이를 위해서 이와사와 이론의 방법론(Iwasawa theoretic methods)을 도입하고자 한다. 이와사와 이론은 고전적으로 셀머 군 연구에 핵심적 역할을 수행했다. 이와사와 이론의 방법론을 셀머 다양체에 적용하여 이와사와 중심 추측(main conjecture)에서 등장하는 해석적 불변량들의 역할을 규명하는 한편, 확장된 셀머 다양체 개념을 바탕으로 effective Mordell conjecture 해결에 기여하고자 한다.